문제

계단 오르기 게임은 계단 아래 시작점부터 계단 꼭대기에 위치한 도착점까지 가는 게임이다. <그림 1>과 같이 각각의 계단에는 일정한 점수가 쓰여 있는데 계단을 밟으면 그 계단에 쓰여 있는 점수를 얻게 된다.

예를 들어 <그림 2>와 같이 시작점에서부터 첫 번째, 두 번째, 네 번째, 여섯 번째 계단을 밟아 도착점에 도달하면 총 점수는 10 + 20 + 25 + 20 = 75점이 된다.

계단 오르는 데는 다음과 같은 규칙이 있다.

1. 계단은 한 번에 한 계단씩 또는 두 계단씩 오를 수 있다. 즉, 한 계단을 밟으면서 이어서 다음 계단이나, 다음 다음 계단으로 오를 수 있다.
2. 연속된 세 개의 계단을 모두 밟아서는 안 된다. 단, 시작점은 계단에 포함되지 않는다.
3. 마지막 도착 계단은 반드시 밟아야 한다.

따라서 첫 번째 계단을 밟고 이어 두 번째 계단이나, 세 번째 계단으로 오를 수 있다. 하지만, 첫 번째 계단을 밟고 이어 네 번째 계단으로 올라가거나, 첫 번째, 두 번째, 세 번째 계단을 연속해서 모두 밟을 수는 없다.

각 계단에 쓰여 있는 점수가 주어질 때 이 게임에서 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

입력의 첫째 줄에 계단의 개수가 주어진다.

둘째 줄부터 한 줄에 하나씩 제일 아래에 놓인 계단부터 순서대로 각 계단에 쓰여 있는 점수가 주어진다. 계단의 개수는 300이하의 자연수이고, 계단에 쓰여 있는 점수는 10,000이하의 자연수이다.

출력

첫째 줄에 계단 오르기 게임에서 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 출력한다.

코드

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    int arr[100002] = {0};
    for(int i=1;i<=n;i++) cin >> arr[i];
    int dp[100002];
    dp[1] = arr[1];
    dp[2] = arr[1] + arr[2];
    dp[3] = max(arr[1] + arr[3], arr[2] + arr[3]);
    for(int i=4;i<=n;i++) {
        dp[i] = max(dp[i-2] + arr[i], dp[i-3] + arr[i-1] + arr[i]);
    }
    cout << dp[n];
    return 0;
}

해설

DP 문제이다. DP 문제는 이전에 구한 값들을 활용하여 현재의 값을 구해나가며 일반화를 하는 과정이다.

배열 dp 는 각 계단 i 에서의 최댓값 을 저장하고, 배열 arr는 각 계단의 점수를 저장한다.

예제와 같이 6개의 계단 각각의 점수가 10, 20, 15, 25, 10, 20 이라고 가정하자.

1. 첫 번째 계단에서의 최댓값은 자명하게 10이다. dp[1] = arr[1] = 10;
2. 두 번째 계단에서의 최댓값은 arr[1] + arr[2] 이다.
3. 세 번째 계단에서의 최댓값은, 두 번째 계단을 밟은 경우와 그렇지 않은 경우로 나뉜다.

• 두 번째 계단을 밟은 경우, 연속 세 계단을 밟는 것이 안되기 때문에, arr[2] + arr[3] 이다.

• 두 번째 계단을 밟지 않은 경우, 첫 번째 계단을 밟으므로 arr[1] + arr[3] 이다.

  따라서, 둘 중 최댓값을 고르면 된다. max(arr[2] + arr[3], arr[1] + arr[3])

4. 네 번째 계단 부터는 일반화된 점화식을 사용할 수 있다.

• 해당 계단을 기준으로, 바로 전 계단(i-1)을 밟은 경우엔, 전전 계단을 밟을 수 없다. (연속 세 계단을 밟지 못한다는 조건)

  • 이 경우, 해당 계단에서의 최댓값은 이 전 계단의 점수와, 세 번째 전의 계단에서의 최댓값을 더해주어야한다. dp[i] = arr[i-1] + dp[i-3] + arr[i

  

• 해당 계단을 기준으로, 바로 전 계단(i-1)을 밟지 않은 경우엔, 전전 계단을 밟아야한다.

  • 이 경우, 해당 계단에서의 최댓값은 i-2에서의 최댓값에 현재 계단의 점수를 더해주어야한다.

    dp[i] = dp[i-2] + arr[i]